Théorème de transfert

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Espérance et théorème de transfert

Énoncé

Soit $X$ de valeurs $- 2$ , $0$ et $2$ , avec les probabilités $0, 3$ , $0, 5$ et $0, 2$ . Calculer $E (X)$ , $E (X^{2})$ , $V (X)$ et $σ (X)$ , puis déterminer la loi de $Y = X^{2}$ et vérifier que $E (Y) = E (X^{2})$ .

Corrigé

L'espérance. $E (X) = - 2 \times 0, 3 + 0 \times 0, 5 + 2 \times 0, 2 = - 0, 6 + 0, 4 = - 0, 2$ .

Le transfert. $E (X^{2}) = 4 \times 0, 3 + 0 \times 0, 5 + 4 \times 0, 2 = 1, 2 + 0, 8 = 2$ .

La variance. $V (X) = 2 - (- 0, 2)^{2} = 2 - 0, 04 = 1, 96$ , donc $σ (X) = 1, 4$ .

La loi de $Y$ . $Y$ ne prend que deux valeurs :

$P (Y = 0) = P (X = 0) = 0, 5, P (Y = 4) = 0, 3 + 0, 2 = 0, 5.$

Donc $E (Y) = 0 \times 0, 5 + 4 \times 0, 5 = 2$ : c'est bien $E (X^{2})$ .

Ce qu'illustre l'exercice. Le transfert donne le résultat sans passer par le regroupement des deux valeurs $- 2$ et $2$ . Le calcul direct sert ici de contrôle, pas de méthode.

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