Une garantie avec franchise

Contrôle préalable : $0,70+0,18+0,09+0,03=1$.

1. Le coût moyen de réparation. $$E(X)=0\times 0,70+100\times 0,18+400\times 0,09+1200\times 0,03$$ $$=0+18+36+36=90\text{ euros}.$$

2. Ce que paie l'assureur. Le théorème de transfert permet de calculer $E(g(X))$ sans déterminer la loi de $g(X)$ : il suffit d'appliquer $g$ à chaque valeur et de pondérer par les probabilités inchangées. Ici $$g(0)=0,g(100)=0,g(400)=200,g(1200)=1000,$$ les deux premiers étant nuls car $0$ et $100$ ne dépassent pas la franchise. D'où $$E(g(X))=0\times 0,70+0\times 0,18+200\times 0,09+1000\times 0,03=18+30=48\text{ euros}.$$

Le point délicat est que $g$ n'est pas affine : on ne peut donc pas écrire $E(g(X))=g(E(X))$. Le calcul $g(90)=0$ donnerait zéro, ce qui est manifestement faux. La linéarité de l'espérance ne vaut que pour les transformations affines.

3. La part couverte. $$\frac{48}{90}\approx 0,533.$$ La garantie couvre environ $53\%$ du coût moyen de réparation ; les $47\%$ restants — soit $42$ euros en moyenne — demeurent à la charge du client, sous forme de franchise.

Un assureur qui facturerait cette garantie moins de $48$ euros par appareil perdrait de l'argent à long terme.