Une loi qui dépend d'un paramètre

1. Le paramètre. Les événements $[X=1],\dots ,[X=4]$ forment un système complet : la somme de leurs probabilités vaut $1$. Donc $$\alpha \times 1+\alpha \times 2+\alpha \times 3+\alpha \times 4=\alpha (1+2+3+4)=10\alpha =1,$$ d'où $\alpha =\frac{1}{10}=0,1$. La loi s'écrit

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0,1$	$0,2$	$0,3$	$0,4$

Contrôle : $0,1+0,2+0,3+0,4=1$, et toutes les probabilités sont bien comprises entre $0$ et $1$.

2. L'espérance. Par définition, $$E(X)=\sum _{k=1}^{4}kP(X=k)=\sum _{k=1}^{4}0,1k^2=0,1(1+4+9+16)=0,1\times 30=3.$$

3. La variance. On calcule d'abord $E(X^2)$ par le théorème de transfert, avec $g(x)=x^2$ : $$E(X^2)=\sum _{k=1}^4{k}^{2}P(X=k)=\sum _{k=1}^{4}0,1k^3=0,1(1+8+27+64)=0,1\times 100=10.$$ Puis la formule de Kœnig-Huygens : $$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2=10-9=1,\sigma (X)=\sqrt{1}=1.$$

Contrôle par la définition. Les écarts à la moyenne sont $-2$, $-1$, $0$, $1$, donc $$0,1\times 4+0,2\times 1+0,3\times 0+0,4\times 1=0,4+0,2+0+0,4=1.$$ Même résultat, en trois fois plus de temps — c'est pourquoi on emploie toujours Kœnig-Huygens.