Une prime affine a la même variable centrée réduite

1. Espérance et écart-type de $Y$. Les formules du cours sur les transformations affines donnent $$E(Y)=aE(X)+b,\sigma (Y)=|a|\sigma (X)=a\sigma (X),$$ la valeur absolue disparaissant puisque $a>0$. En particulier $\sigma (Y)\ne 0$, donc $Y^{\ast }$ est bien définie.

2. L'égalité des variables centrées réduites. Posons $m=E(X)$ et $s=\sigma (X)$. Par définition, $$Y^{\ast }=\frac{Y-E(Y)}{\sigma (Y)}=\frac{(aX+b)-(am+b)}{as}.$$ Le numérateur se simplifie : les deux $b$ s'annulent, et $$aX+b-am-b=a(X-m).$$ Donc $$Y^{\ast }=\frac{a(X-m)}{as}=\frac{X-m}{s}=X^{\ast },$$ la simplification par $a$ étant licite puisque $a\ne 0$.

Ce que ce résultat signifie. Centrer et réduire efface l'unité et l'origine : le montant fixe $b$ et le taux $a$ disparaissent tous les deux. Un chiffre d'affaires et la prime qui en découle sont, une fois centrés réduits, la même variable. C'est exactement ce qui rend la variable centrée réduite comparable d'une grandeur à l'autre.

3. La vérification. Pour $X$ : $E(X)=2+10+9=21$ ; par transfert, $E(X^2)=100\times 0,2+400\times 0,5+900\times 0,3=490$, donc $V(X)=490-441=49$ et $\sigma (X)=7$. La valeur $30$ donne $$X^{\ast }=\frac{30-21}{7}=\frac{9}{7}.$$ Pour $Y=3X-10$ : $E(Y)=63-10=53$ et $\sigma (Y)=3\times 7=21$. La valeur correspondante de $Y$ est $3\times 30-10=80$, donc $$Y^{\ast }=\frac{80-53}{21}=\frac{27}{21}=\frac{9}{7}.$$ Les deux coïncident, comme la démonstration l'annonçait.