Une transformation affine

On commence par la variance de $X$, que l'écart-type donne : $$V(X)=\sigma (X{)}^2=3^2=9.$$

La variable $Y=5X+20$, avec $a=5$ et $b=20$. Les formules du cours donnent $$E(Y)=5E(X)+20=60+20=80;$$ $$V(Y)=5^{2}V(X)=25\times 9=225;$$ $$\sigma (Y)=|5|\sigma (X)=5\times 3=15.$$ Contrôle : $\sqrt{225}=15$, ce qui est cohérent.

La variable $Z=X-7$, avec $a=1$ et $b=-7$ : $$E(Z)=E(X)-7=5;$$ $$V(Z)=1^2\times V(X)=9;$$ $$\sigma (Z)=|1|\times 3=3.$$

Ce que ces résultats disent. Ajouter $-7$ à toutes les valeurs déplace la moyenne de $-7$ et ne change rien à la dispersion : les valeurs restent aussi écartées les unes des autres. Le $b$ disparaît donc de la variance, et ce n'est pas un oubli.

En revanche, multiplier par $5$ multiplie l'écart-type par $5$ et la variance par $25$. C'est aussi pourquoi la variance ne s'exprime pas dans la même unité que $X$ : si $X$ est en euros, $V(X)$ est en euros au carré, et seul l'écart-type est lisible.