Une transformation affine

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Variance et transformation affine

Énoncé

Le chiffre d'affaires $X$ d'un représentant vaut $10$ , $20$ ou $30$ avec les probabilités $0, 2$ , $0, 5$ et $0, 3$ . Sa prime est $Y = 3 X - 10$ . Calculer $E (Y)$ , $V (Y)$ et $σ (Y)$ de deux façons.

Corrigé

Les caractéristiques de $X$ . $E (X) = 2 + 10 + 9 = 21$ ; $E (X^{2}) = 20 + 200 + 270 = 490$ ; $V (X) = 490 - 441 = 49$ ; $σ (X) = 7$ .

Par les formules. $E (Y) = 3 \times 21 - 10 = 53$ , $V (Y) = 3^{2} \times 49 = 441$ et $σ (Y) = 3 \times 7 = 21$ .

Par la loi de $Y$ . $Y$ prend les valeurs $20$ , $50$ , $80$ avec les mêmes probabilités, donc

$E (Y) = 4 + 25 + 24 = 53, E (Y^{2}) = 80 + 1250 + 1920 = 3250,$

puis $V (Y) = 3250 - 5 3^{2} = 441$ .

Le rôle du $- 10$ . Il déplace l'espérance de $10$ mais laisse la variance intacte : retrancher une constante à toutes les valeurs ne les écarte pas les unes des autres.

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