Une variable à deux valeurs

Variables aléatoires finies · Loi d'une variable aléatoire · niveau 1 (application)

Énoncé

Un lot de $20$ pièces contient $4$ pièces défectueuses. On en tire une au hasard et l'on pose $X = 1$ si elle est défectueuse, $X = 0$ sinon. Donner la loi de $X$ , puis $E (X)$ , $V (X)$ et $σ (X)$ .

Corrigé

La loi. $P (X = 1) = \frac{4}{20} = 0, 2$ et $P (X = 0) = 0, 8$ . La somme vaut $1$ .

L'espérance. $E (X) = 0 \times 0, 8 + 1 \times 0, 2 = 0, 2$ .

La variance. Par transfert, $E (X^{2}) = 0 \times 0, 8 + 1 \times 0, 2 = 0, 2$ , donc $V (X) = 0, 2 - 0, 2^{2} = 0, 2 - 0, 04 = 0, 16$ et $σ (X) = 0, 4$ .

Une remarque. Comme $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ , on a $X^{2} = X$ , donc $E (X^{2}) = E (X)$ : la variance vaut toujours $p (1 - p)$ pour ce type de variable. Ici $0, 2 \times 0, 8 = 0, 16$ .

Énoncé

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