Une variable à deux valeurs

1. La loi. Il y a équiprobabilité, donc $$P(X=1)=\frac{10}{25}=0,4,P(X=0)=\frac{15}{25}=0,6.$$

$x_i$	$0$	$1$
$P(X=x_i)$	$0,6$	$0,4$

Contrôle : $0,6+0,4=1$.

2. Espérance, variance, écart-type. $$E(X)=0\times 0,6+1\times 0,4=0,4.$$ Par transfert avec $g(x)=x^2$ — en remarquant que $0^2=0$ et $1^2=1$ : $$E(X^2)=0\times 0,6+1\times 0,4=0,4.$$ Kœnig-Huygens donne $$V(X)=0,4-0,4^2=0,4-0,16=0,24,$$ donc $\sigma (X)=\sqrt{0,24}\approx 0,49$.

Remarquons que $E(X^2)=E(X)$ : c'est propre aux variables ne prenant que les valeurs $0$ et $1$, puisque $0^2=0$ et $1^2=1$. La variance vaut alors $p-p^2=p(1-p)=0,4\times 0,6=0,24$.

3. Ce que représente $E(X)$. C'est la proportion de dossiers incomplets dans le lot, soit $40\%$. Une variable qui vaut $1$ quand un événement se produit et $0$ sinon a pour espérance la probabilité de cet événement : compter en moyenne et mesurer une proportion sont ici le même calcul.