Une variable à deux valeurs

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Lois et tableaux

Énoncé

Un lot de $25$ dossiers contient $10$ dossiers incomplets. On en tire un au hasard et l'on pose $X = 1$ si le dossier est incomplet, $X = 0$ sinon.

1. Donner la loi de $X$ . 2. Calculer $E (X)$ , $V (X)$ et $σ (X)$ . 3. Que représente $E (X)$ ici ?

Corrigé

1. La loi. Il y a équiprobabilité, donc $P (X = 1) = \frac{10}{25} = 0, 4, P (X = 0) = \frac{15}{25} = 0, 6.$

$x_{i}$	$0$	$1$
$P (X = x_{i})$	$0, 6$	$0, 4$

Contrôle : $0, 6 + 0, 4 = 1$ .

2. Espérance, variance, écart-type. $E (X) = 0 \times 0, 6 + 1 \times 0, 4 = 0, 4.$ Par transfert avec $g (x) = x^{2}$ — en remarquant que $0^{2} = 0$ et $1^{2} = 1$ : $E (X^{2}) = 0 \times 0, 6 + 1 \times 0, 4 = 0, 4.$ Kœnig-Huygens donne $V (X) = 0, 4 - 0, 4^{2} = 0, 4 - 0, 16 = 0, 24,$ donc $σ (X) = 0, 24 \approx 0, 49$ .

Remarquons que $E (X^{2}) = E (X)$ : c'est propre aux variables ne prenant que les valeurs $0$ et $1$ , puisque $0^{2} = 0$ et $1^{2} = 1$ . La variance vaut alors $p - p^{2} = p (1 - p) = 0, 4 \times 0, 6 = 0, 24$ .

3. Ce que représente $E (X)$ . C'est la proportion de dossiers incomplets dans le lot, soit $40 %$ . Une variable qui vaut $1$ quand un événement se produit et $0$ sinon a pour espérance la probabilité de cet événement : compter en moyenne et mesurer une proportion sont ici le même calcul.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.