Une variance sans loi

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 7 — Variables aléatoires finies · Variance et transformation affine

Énoncé

Une variable aléatoire $X$ vérifie $E (X) = 4$ et $E (X^{2}) = 20$ .

1. Calculer $V (X)$ et $σ (X)$ . 2. Calculer $E (3 X - 5)$ , $V (3 X - 5)$ et $σ (3 X - 5)$ . 3. Calculer $E (X^{2} - 2 X)$ .

Corrigé

Aucune loi n'est donnée, et il n'en faut pas : les formules du cours suffisent.

1. Variance et écart-type. La formule de Kœnig-Huygens donne $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 20 - 4^{2} = 20 - 16 = 4,$ donc $σ (X) = V (X) = 4 = 2.$

2. La transformation affine. Avec $a = 3$ et $b = - 5$ , les formules du cours donnent $E (3 X - 5) = 3 E (X) - 5 = 12 - 5 = 7;$ $V (3 X - 5) = 3^{2} V (X) = 9 \times 4 = 36;$ $σ (3 X - 5) = ∣3∣ σ (X) = 3 \times 2 = 6.$

Ce que le $b$ devient. Il apparaît dans l'espérance et disparaît de la variance : décaler toutes les valeurs de $- 5$ déplace la moyenne sans écarter les valeurs entre elles. Ce n'est pas un oubli, c'est le sens même de la dispersion.

Contrôle de cohérence : $σ (3 X - 5) = 36 = 6$ , ce qui redonne bien $3 \times 2$ .

3. Une combinaison non affine, mais linéaire en $X$ et $X^{2}$ . La transformation $x \mapsto x^{2} - 2 x$ n'est pas affine, mais l'espérance reste linéaire, donc $E (X^{2} - 2 X) = E (X^{2}) - 2 E (X) = 20 - 8 = 12.$

Le piège à éviter : écrire $E (X^{2}) = (E (X))^{2} = 16$ . C'est faux, et l'écart entre les deux, $20 - 16 = 4$ , est exactement la variance. Les deux ne coïncideraient que si $X$ était constante.

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