Combiner deux matrices

Condition d'existence. $A$ et $B$ sont toutes deux de taille $2\times 3$ : la somme a un sens, et elle se calcule case par case.

La somme. $$A+B=\left(\begin{array}{ccc}1+2& 3+(-1)& -2+0\\ 0+3& 4+1& 5+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ 3& 5& 7\end{array}\right).$$

Les deux multiples. Multiplier par un réel, c'est multiplier chaque case : $$3A=\left(\begin{array}{ccc}3& 9& -6\\ 0& 12& 15\end{array}\right),2B=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 0\\ 6& 2& 4\end{array}\right).$$

La combinaison. $$3A-2B=\left(\begin{array}{ccc}3-4& 9-(-2)& -6-0\\ 0-6& 12-2& 15-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 11& -6\\ -6& 10& 11\end{array}\right).$$

Contrôle case par case, sur deux cases choisies au hasard. Ligne $1$, colonne $2$ : $3\times 3-2\times (-1)=9+2=11$. Ligne $2$, colonne $3$ : $3\times 5-2\times 2=15-4=11$. Les deux valeurs concordent avec le résultat.

Ce qu'il faut retenir. La somme et le multiple ne mélangent jamais les cases : la case de la ligne $i$ et de la colonne $j$ du résultat ne dépend que des cases de même position dans $A$ et $B$. C'est le produit, et lui seul, qui fait travailler une ligne entière contre une colonne entière.