Décrire une infinité de solutions

Ce qu'on fait. On applique le pivot de Gauss ; chaque opération élémentaire conserve l'ensemble des solutions, donc le système final a exactement les mêmes solutions que celui de départ.

Descente. Le pivot est le $1$ de la première ligne.

$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ donne $-y+z=2$. $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ donne $-y+z=2$.

Les deux nouvelles lignes sont identiques : $L_3\leftarrow L_3-L_2$ donne $0=0$. Une ligne qui ne dit rien a disparu : il reste deux équations pour trois inconnues, donc une infinité de solutions.

Description. Posons $z=t$, où $t$ décrit $\mathbb{R}$. De $-y+z=2$ on tire $y=t-2$, puis la première ligne donne $$x=6-y-z=6-(t-2)-t=8-2t.$$ L'ensemble des solutions est donc $\{(8-2t;t-2;t)\mid t\in \mathbb{R}\}$.

Contrôle sur les trois équations d'origine, pour un $t$ quelconque : $(8-2t)+(t-2)+t=6$ ; $2(8-2t)+(t-2)+3t=16-4t+t-2+3t=14$ ; $3(8-2t)+2(t-2)+4t=24-6t+2t-4+4t=20$. Les trois sont vérifiées pour tout $t$ : c'est bien une infinité de solutions, et non trois solutions particulières.

Le point délicat. Le paramètre n'est pas « une inconnue qu'on n'a pas trouvée » : c'est le nom donné à un degré de liberté réel du problème. Avec $t=3$ on obtient $(2;1;3)$, avec $t=0$ on obtient $(8;-2;0)$ — deux solutions parmi une infinité.