Du système à l'écriture matricielle

L'écriture matricielle. On range les coefficients ligne par ligne, les inconnues en colonne, les seconds membres en colonne :

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 1& 1& 4\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}11\\ 19\\ 21\end{array}\right).$$

Élimination. $L_2\leftarrow 2L_2-L_1$ donne $5y+3z=27$, et $L_3\leftarrow 2L_3-L_1$ donne $y+7z=31$.

Puis $5\times (y+7z)-(5y+3z)$ donne $32z=155-27=128$, donc $z=4$.

Remontée. $y=31-7\times 4=3$, puis $2x=11-3-4=4$, donc $x=2$. La solution est $(2;3;4)$.

Le contrôle par le produit. Chaque ligne de $A$ se multiplie par la colonne $X$ terme à terme :

$$AX=\left(\begin{array}{c}2\times 2+1\times 3+1\times 4\\ 1\times 2+3\times 3+2\times 4\\ 1\times 2+1\times 3+4\times 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11\\ 19\\ 21\end{array}\right)=B.$$

Le point à retenir. L'écriture $AX=B$ n'est pas une méthode de résolution en première année, c'est un rangement — mais elle offre le contrôle le plus rapide qui soit : un seul produit redonne les trois équations d'un coup.