Le second membre qui rend le système compatible

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Pivot de Gauss et discussion

Énoncé

Soit $b$ un réel. Déterminer les valeurs de $b$ pour lesquelles le système $⎩ ⎨ ⎧ x 2 x 3 x + + + y 3 y 5 y + + + z z z = = = 14 b$ admet au moins une solution, puis résoudre dans ce cas.

Corrigé

Descente. Pivot : le $1$ de la première ligne.

$L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ : $y - z = 2$ . $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1}$ : $2 y - 2 z = b - 3$ .

Nouveau pivot : le $1$ devant $y$ . $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{2}$ : $0 = (b - 3) - 4 = b - 7.$

La condition. La dernière ligne dit $0 = b - 7$ . Si $b \neq = 7$ , elle est une contradiction : le système n'a aucune solution. Si $b = 7$ , elle est l'égalité $0 = 0$ , qui n'exclut rien.

Le système admet donc des solutions si et seulement si $b = 7$ .

Résolution pour $b = 7$ . Il reste $x + y + z = 1$ et $y - z = 2$ : deux équations, trois inconnues. Posons $z = t$ . Alors $y = t + 2$ et $x = 1 - y - z = 1 - (t + 2) - t = - 1 - 2 t .$ L'ensemble des solutions est ${(- 1 - 2 t; t + 2; t) ∣ t \in R}$ .

Contrôle. Pour $t = 0$ : $(- 1; 2; 0)$ donne $- 1 + 2 + 0 = 1$ , $- 2 + 6 + 0 = 4$ et $- 3 + 10 + 0 = 7$ . Pour $t = 1$ : $(- 3; 3; 1)$ donne $- 3 + 3 + 1 = 1$ , $- 6 + 9 + 1 = 4$ et $- 9 + 15 + 1 = 7$ .

Ce qu'il faut retenir. L'incompatibilité éventuelle ne se lit pas sur les équations de départ, mais elle s'explique après coup : côté gauche, la troisième ligne est $2 L_{2} - L_{1}$ , puisque $2 \times 2 - 1 = 3$ , $2 \times 3 - 1 = 5$ et $2 \times 1 - 1 = 1$ . Le second membre doit obéir à la même combinaison, c'est-à-dire valoir $2 \times 4 - 1 = 7$ ; toute autre valeur fabrique la contradiction $0 = b - 7$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.