Les puissances d'une matrice triangulaire

Les premiers calculs. Le produit se fait ligne par colonne :

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right),A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right).$$

La conjecture. Les coins valent toujours $1$, $0$ et $1$ ; seule la case en haut à droite bouge, et elle vaut $2$, $4$, $6$ : on conjecture

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)\text{pour tout }n\ge 1.$$

Initialisation. Pour $n=1$, la formule donne $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, qui est bien $A$.

Hérédité. Supposons la formule vraie au rang $n$. Alors

$$A^{n+1}=A^{n}A=\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2+2n\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2(n+1)\\ 0& 1\end{array}\right),$$

car la case en haut à droite vaut $1\times 2+2n\times 1$. C'est la formule au rang $n+1$.

Conclusion. Par récurrence, $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)$ pour tout $n\ge 1$.

Le point à retenir. Le produit matriciel n'étant pas commutatif, on choisit un côté — ici $A^{n+1}=A^{n}A$ — et l'on s'y tient pendant toute l'hérédité.