Quatre équations, trois inconnues

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Résoudre un système linéaire

Énoncé

Résoudre

$⎩ ⎨ ⎧ x 2 x x 4 x + - + + y y 2 y 2 y + + - + z z z z = = = = 63211$

puis dire ce que devient la réponse si le second membre de la quatrième équation vaut $12$ au lieu de $11$ .

Corrigé

La méthode. Quatre équations pour trois inconnues : on résout les trois premières par le pivot, ce qui laisse au plus une solution, puis on teste la quatrième sur elle.

Élimination. $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $- 3 y - z = - 9$ , soit $3 y + z = 9$ . $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ donne $y - 2 z = - 4$ .

Remontée. De $3 y + z = 9$ on tire $z = 9 - 3 y$ . En reportant : $y - 2 (9 - 3 y) = - 4$ , soit $7 y = 14$ , donc $y = 2$ , puis $z = 9 - 6 = 3$ et enfin $x = 6 - 2 - 3 = 1$ .

Le test de la quatrième. $4 \times 1 + 2 \times 2 + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$ : elle est satisfaite. Le système a donc pour unique solution $(1; 2; 3)$ .

Pourquoi elle passe. En additionnant les trois premières équations on obtient $4 x + 2 y + z = 6 + 3 + 2 = 11$ : la quatrième équation est exactement leur somme. Elle ne dit rien de neuf.

Avec $12$ au second membre. Les trois premières équations imposent toujours $(1; 2; 3)$ , qui donne $11 \neq = 12$ . Le système n'a aucune solution.

Le point à retenir. Une équation de plus que d'inconnues est presque toujours une équation de trop : ou bien elle est conséquence des autres et ne change rien, ou bien elle les contredit et tue la solution.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.