Quelles opérations ont un sens ?

Les deux règles à appliquer. Une somme n'a de sens que si les deux matrices ont exactement la même taille. Un produit $MN$ n'a de sens que si le nombre de colonnes de $M$ égale le nombre de lignes de $N$ ; le résultat a alors autant de lignes que $M$ et autant de colonnes que $N$.

$A+B$. $A$ est $2\times 3$ et $B$ est $3\times 2$ : les tailles diffèrent, la somme n'existe pas. Avoir le même nombre de cases ne suffit pas.

$A+C$. Les deux sont $2\times 3$ : la somme existe, et elle est de taille $2\times 3$.

$AB$. $A$ a $3$ colonnes, $B$ a $3$ lignes : le produit existe. Les dimensions extérieures donnent la taille $2\times 2$.

$BA$. $B$ a $2$ colonnes, $A$ a $2$ lignes : le produit existe aussi, et il est de taille $3\times 3$.

$AC$. $A$ a $3$ colonnes, $C$ a $2$ lignes : $3\ne 2$, le produit n'existe pas.

Ce que ce tableau montre. $AB$ et $BA$ existent tous deux ici, mais l'un est $2\times 2$ et l'autre $3\times 3$ : ils ne sauraient être égaux. Et deux matrices de même taille, $A$ et $C$, peuvent s'additionner sans pouvoir se multiplier — ce sont bien deux conditions différentes, à vérifier séparément.