Quels produits ont un sens ?

Systèmes linéaires et calcul matriciel · Opérations sur les matrices · niveau 2

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Soient $A = (1301 2 - 1)$ et $B = 104210$ . Les produits $A B$ et $B A$ existent-ils ? Les calculer lorsque c'est le cas, et comparer leurs tailles.

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Les tailles. $A$ est $2 \times 3$ et $B$ est $3 \times 2$ . Pour $A B$ , les dimensions intérieures valent $3$ et $3$ : le produit existe, de taille $2 \times 2$ . Pour $B A$ , elles valent $2$ et $2$ : il existe aussi, de taille $3 \times 3$ .

Les deux produits. $A B = (9 - 1 27)$ — par exemple $1 \times 1 + 0 \times 0 + 2 \times 4 = 9$ — et $B A = 734210 0 - 1 8$ .

Comparaison. Les deux produits existent mais n'ont même pas la même taille : ils ne peuvent donc pas être égaux. C'est la forme la plus brutale de la non-commutativité.

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