Reconnaître les trois cas

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Résoudre un système linéaire

Énoncé

Pour chacun des systèmes suivants, dire s'il a une solution, aucune, ou une infinité.

$x + y = 5$ et $x - y = 1$ ;
$2 x + 3 y = 6$ et $4 x + 6 y = 5$ ;
$2 x + 3 y = 6$ et $4 x + 6 y = 12$ .

Corrigé

1. Une solution. En ajoutant les deux lignes : $2 x = 6$ , donc $x = 3$ et $y = 2$ . Contrôle : $3 + 2 = 5$ et $3 - 2 = 1$ .

2. Aucune solution. $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $0 = 5 - 12 = - 7$ , ce qui est faux. Les deux droites sont strictement parallèles.

3. Une infinité. La même opération donne $0 = 0$ : la seconde équation est le double de la première, les droites sont confondues. Les solutions sont tous les couples $(x; \frac{6 - 2 x}{3})$ , pour $x$ réel.

La leçon. Les cas 2 et 3 ont les mêmes coefficients à gauche : c'est le second membre qui décide entre « aucune » et « infinité ».

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.