Remettre un système dans l'ordre avant de l'écrire

Le rangement. Chaque équation se réécrit avec les inconnues dans l'ordre $x$, $y$, $z$, un coefficient $0$ étant écrit là où une inconnue est absente : $$\{\begin{array}{rcrcrcr}x& +& 0y& +& 3z& =& 7\\ 4x& +& 2y& -& z& =& 4\\ 0x& +& y& +& z& =& 3\end{array}$$

L'écriture matricielle. $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 4& 2& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 3\end{array}\right),$$ et le système s'écrit $AX=B$. La $j$-ième colonne de $A$ porte les coefficients de la $j$-ième inconnue : c'est ce qui rend le rangement obligatoire.

Résolution. De la première ligne, $x=7-3z$ ; de la troisième, $y=3-z$. En reportant dans la deuxième : $$4(7-3z)+2(3-z)-z=4,\text{soit}34-15z=4,\text{donc}z=2.$$ Puis $y=1$ et $x=1$.

Contrôle par le produit. $$AX=\left(\begin{array}{c}1\times 1+0\times 1+3\times 2\\ 4\times 1+2\times 1-1\times 2\\ 0\times 1+1\times 1+1\times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 4\\ 3\end{array}\right)=B.$$

Ce qu'il faut retenir. Une inconnue absente n'est pas une case vide : c'est un coefficient nul. Oublier ce zéro décale toute une colonne et fabrique un système qui n'est plus celui de l'énoncé.