Remonter des ressources à la production

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Systèmes et production

Énoncé

Trois ressources sont consommées par trois produits selon

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x x 3 x + + + y 2 y 3 y + + + 3 z z 2 z = = = 654075$

Résoudre en commençant par un échange de lignes, puis écrire le système sous la forme $A X = B$ .

Corrigé

L'échange. $L_{1} \leftrightarrow L_{2}$ amène un pivot égal à $1$ : la première ligne devient $x + 2 y + z = 40$ .

Descente. $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $- 3 y + z = 65 - 80 = - 15$ ; $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1}$ donne $- 3 y - z = 75 - 120 = - 45$ . Puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ donne $- 2 z = - 30$ .

Remontée. $z = 15$ , puis $- 3 y = - 15 - 15 = - 30$ donc $y = 10$ , puis $x = 40 - 20 - 15 = 5$ .

Contrôle. $10 + 10 + 45 = 65$ ; $5 + 20 + 15 = 40$ ; $15 + 30 + 30 = 75$ . La solution est $(5; 10; 15)$ .

Écriture matricielle. $213123312 x y z = 654075$ . L'échange de lignes se lit sur $A$ et sur $B$ en même temps : c'est pourquoi on écrit les deux côte à côte pendant le calcul.

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