Toutes les matrices qui commutent avec A

Les deux produits. On calcule séparément, sans supposer qu'ils sont égaux :

$$AB=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ c& d\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}a& a+b\\ c& c+d\end{array}\right).$$

Pour $AB$, la première ligne de $A$ est $(11)$ : elle additionne les deux lignes de $B$. Pour $BA$, la deuxième colonne de $A$ est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)$ : elle additionne les deux colonnes de $B$.

L'égalité, case par case. Deux matrices sont égales lorsque leurs quatre cases le sont :

• en haut à gauche : $a+c=a$, donc $c=0$ ;
• en haut à droite : $b+d=a+b$, donc $d=a$ ;
• en bas à gauche : $c=c$, toujours vraie ;
• en bas à droite : $d=c+d$, donc $c=0$ à nouveau.

Conclusion. Les conditions se réduisent à $c=0$ et $d=a$. Les matrices cherchées sont donc exactement celles de la forme

$$B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right),a\text{ et }b\text{ reˊels quelconques.}$$

Vérification. Avec une telle $B$ : $AB=\left(\begin{array}{cc}a& a+b\\ 0& a\end{array}\right)$ et $BA=\left(\begin{array}{cc}a& a+b\\ 0& a\end{array}\right)$. Elles coïncident.

Le point à retenir. « Chercher les matrices telles que… » se traduit toujours en un système portant sur les cases : quatre égalités ici, dont deux redondantes. La non-commutativité est la règle, et commuter est une propriété rare, qui se paie de deux conditions sur quatre coefficients.