Trois catégories de billets

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Mettre une situation de gestion en système

Énoncé

Une salle vend des billets plein tarif, réduits et scolaires, aux prix respectifs $x$ , $y$ et $z$ euros. Trois séances ont rapporté : $20$ , $10$ , $5$ billets pour $355$ euros ; $10$ , $20$ , $10$ billets pour $350$ euros ; $5$ , $5$ , $30$ billets pour $255$ euros. Déterminer les trois prix.

Corrigé

Mise en équations. Chaque séance donne une équation « nombre de billets fois prix, sommé sur les trois catégories = recette » : $⎩ ⎨ ⎧ 20 x 10 x 5 x + + + 10 y 20 y 5 y + + + 5 z 10 z 30 z = = = 355350255$

Simplification. On divise respectivement par $5$ , $10$ et $5$ — c'est l'opération $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ avec $α \neq = 0$ , donc l'ensemble des solutions ne change pas : $4 x + 2 y + z = 71$ , $x + 2 y + z = 35$ , $x + y + 6 z = 51$ .

Descente. On échange les deux premières lignes pour prendre comme pivot le coefficient $1$ devant $x$ :

$L_{2} \leftarrow L_{2} - 4 L_{1}$ : $- 6 y - 3 z = - 69$ , soit $2 y + z = 23$ . $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ : $- y + 5 z = 16$ .

Puis $L_{3} \leftarrow 2 L_{3} + L_{2}$ : $10 z + z = 32 + 23$ , soit $11 z = 55$ .

Remontée. $z = 5$ ; puis $2 y + 5 = 23$ donne $y = 9$ ; puis $x = 35 - 18 - 5 = 12$ .

Contrôle sur les recettes d'origine. $20 \times 12 + 10 \times 9 + 5 \times 5 = 240 + 90 + 25 = 355$ ; $10 \times 12 + 20 \times 9 + 10 \times 5 = 120 + 180 + 50 = 350$ ; $5 \times 12 + 5 \times 9 + 30 \times 5 = 60 + 45 + 150 = 255$ .

Le plein tarif vaut $12$ euros, le tarif réduit $9$ euros et le tarif scolaire $5$ euros.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.