Trois produits, trois contraintes

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Systèmes et production

Énoncé

Une entreprise fabrique $x$ unités de A, $y$ de B et $z$ de C. Le total est de $60$ unités ; l'assemblage consomme $2 x + 3 y + z = 130$ minutes ; le contrôle qualité consomme $4 x + y + 2 z = 160$ minutes. Déterminer $x$ , $y$ et $z$ .

Corrigé

Le système. $x + y + z = 60$ , $2 x + 3 y + z = 130$ , $4 x + y + 2 z = 160$ .

Descente. $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $y - z = 10$ ; $L_{3} \leftarrow L_{3} - 4 L_{1}$ donne $- 3 y - 2 z = - 80$ . Puis $L_{3} \leftarrow L_{3} + 3 L_{2}$ donne $- 5 z = - 80 + 30 = - 50$ .

Remontée. $z = 10$ , puis $y = 10 + z = 20$ , puis $x = 60 - 20 - 10 = 30$ .

Contrôle. $30 + 20 + 10 = 60$ ; $60 + 60 + 10 = 130$ ; $120 + 20 + 20 = 160$ . L'entreprise fabrique $30$ unités de A, $20$ de B et $10$ de C.

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