Trois services, une enveloppe à répartir

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Mettre une situation de gestion en système

Énoncé

Une entreprise répartit $60000$ euros entre trois services A, B et C. Le service A reçoit deux fois la dotation de C ; A et B reçoivent ensemble $45000$ euros. Déterminer les trois dotations.

Corrigé

Mise en équations. Notons $x$ , $y$ , $z$ les dotations de A, B et C, en euros. Les trois renseignements s'écrivent : $⎩ ⎨ ⎧ x x x + + y y + - z 2 z = = = 60000045000$ La deuxième ligne mérite un mot : la phrase « A reçoit deux fois C » s'écrit $x = 2 z$ , qu'on réécrit $x - 2 z = 0$ pour que toutes les inconnues soient du même côté. C'est la seule forme sur laquelle le pivot travaille.

Descente. Pivot : le $1$ de la première ligne.

$L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ : $- y - 3 z = - 60000$ , soit $y + 3 z = 60000$ . $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ : $- z = - 15000$ .

Remontée. La troisième ligne donne directement $z = 15000$ . Puis $y = 60000 - 45000 = 15000$ , et $x = 60000 - 15000 - 15000 = 30000$ .

Contrôle sur l'énoncé, pas sur les équations. Le total vaut $30000 + 15000 + 15000 = 60000$ euros ; A reçoit bien deux fois C ( $30000 = 2 \times 15000$ ) ; A et B reçoivent ensemble $30000 + 15000 = 45000$ euros.

Ce qu'il faut retenir. La difficulté d'un tel exercice n'est pas la résolution — trois lignes suffisent — mais la traduction : une phrase comme « deux fois plus » se relit toujours à voix haute pour vérifier de quel côté se place le facteur $2$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.