Un mélange dont le budget décide

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Mettre une situation de gestion en système

Énoncé

On compose $100$ kg de café à partir de trois origines titrant respectivement $40 %$ , $70 %$ et $90 %$ d'arabica et coûtant $6$ , $9$ et $12$ euros le kilo. Le mélange doit titrer $70 %$ d'arabica et coûter $930$ euros. Déterminer les masses, puis dire ce qu'il advient si le budget passe à $990$ euros.

Corrigé

Mise en équations. En notant $x$ , $y$ , $z$ les masses en kilos : masse totale $x + y + z = 100$ ; arabica $0, 4 x + 0, 7 y + 0, 9 z = 70$ , soit $4 x + 7 y + 9 z = 700$ ; coût $6 x + 9 y + 12 z = 930$ , soit $2 x + 3 y + 4 z = 310$ .

Descente. Pivot : le $1$ de la première ligne.

$L_{2} \leftarrow L_{2} - 4 L_{1}$ : $3 y + 5 z = 300$ . $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}$ : $y + 2 z = 110$ .

Puis $L_{3} \leftarrow 3 L_{3} - L_{2}$ : $6 z - 5 z = 330 - 300$ , soit $z = 30$ .

Remontée. $y = 110 - 60 = 50$ , puis $x = 100 - 50 - 30 = 20$ .

Contrôle. Masse : $20 + 50 + 30 = 100$ . Arabica : $4 (20) + 7 (50) + 9 (30) = 80 + 350 + 270 = 700$ , soit bien $70$ kg pour $100$ kg. Coût : $6 (20) + 9 (50) + 12 (30) = 120 + 450 + 360 = 930$ euros.

Le budget en paramètre. Reprenons la descente avec un coût $B$ au lieu de $930$ . La troisième ligne devient $2 x + 3 y + 4 z = B /3$ , puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}$ donne $y + 2 z = B /3 - 200$ . De $3 y + 5 z = 300$ on tire $y = 100 - \frac{5 z}{3}$ , et en reportant : $100 + \frac{z}{3} = \frac{B}{3} - 200, donc z = B - 900.$ Pour $B = 930$ on retrouve $z = 30$ .

Pour $B = 990$ . Alors $z = 90$ , puis $y = 100 - 150 = - 50$ et $x = 60$ . Le système a bien une solution unique, mais une masse négative : mathématiquement correcte, économiquement impossible. Le mélange demandé ne peut pas être composé à ce prix.

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