Un paramètre dans la troisième équation

La descente, menée sans jamais diviser par une quantité inconnue. Le pivot est le $1$ de la première ligne, qui ne dépend pas de $m$.

$L_2\leftarrow L_2-L_1$ : $y+2z=3$. $L_3\leftarrow L_3-L_1$ : $2y+(m-1)z=6$.

Le nouveau pivot est le $1$ devant $y$. $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ : $$((m-1)-4)z=6-6,\text{c’est-aˋ-dire}(m-5)z=0.$$ C'est ici, et seulement ici, que $m$ intervient.

Premier cas : $m\ne 5$. Alors $m-5\ne 0$, donc $z=0$. La remontée donne $y=3-2\times 0=3$, puis $x=3-3-0=0$. Solution unique $(0;3;0)$.

Second cas : $m=5$. La dernière ligne devient $0=0$ : elle ne contredit rien et n'apprend rien. Il reste deux équations pour trois inconnues. En posant $z=t$, on obtient $y=3-2t$, puis $x=3-(3-2t)-t=t$. L'ensemble des solutions est $\{(t;3-2t;t)\mid t\in \mathbb{R}\}$.

Contrôle du second cas dans la troisième équation, avec $m=5$ : $t+3(3-2t)+5t=t+9-6t+5t=9$, pour tout $t$.

Le point délicat. Le troisième cas — aucune solution — ne se produit jamais ici, parce que le second membre de la dernière ligne s'annule en même temps que son coefficient. Une discussion honnête examine les trois issues et dit laquelle ne survient pas, plutôt que de l'oublier.