Un pivot nul dès la première ligne

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Pivot de Gauss et discussion

Énoncé

Résoudre $⎩ ⎨ ⎧ x 2 x + + 2 y y y + + + z z 3 z = = = 7613$ en indiquant précisément l'opération qui permet de démarrer.

Corrigé

L'obstacle. Le coefficient de $x$ dans la première ligne vaut $0$ : il ne peut pas servir de pivot, car ajouter un multiple d'une ligne dont le coefficient est nul ne fabrique aucun zéro. La seule opération qui débloque la situation est l'échange de deux lignes.

Démarrage. $L_{1} \leftrightarrow L_{2}$ : $⎩ ⎨ ⎧ x 2 x + + y 2 y y + + + z z 3 z = = = 6713$

Descente. Le pivot est maintenant le $1$ de la première ligne. La deuxième ligne ne contient déjà plus de $x$ : il n'y a rien à y faire. $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}$ donne $- y + z = 1$ .

Nouveau pivot : le $2$ de la deuxième ligne. $L_{3} \leftarrow 2 L_{3} + L_{2}$ donne $- 2 y + 2 z + 2 y + z = 2 + 7$ , soit $3 z = 9$ .

Remontée. $z = 3$ ; puis $2 y + 3 = 7$ donne $y = 2$ ; puis $x = 6 - 2 - 3 = 1$ .

Contrôle. $2 \times 2 + 3 = 7$ ; $1 + 2 + 3 = 6$ ; $2 + 2 + 9 = 13$ . Le triplet $(1; 2; 3)$ est l'unique solution.

Ce qu'il faut retenir. L'échange de lignes n'est pas une astuce de confort : c'est le seul usage prévu de cette opération, et il sert exactement quand le pivot vaudrait zéro.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.