Un produit nul dont aucun facteur ne l'est

Le produit $AB$. Chaque case s'obtient en prenant une ligne de $A$ contre une colonne de $B$ : $$AB=\left(\begin{array}{cc}2\times 1+(-1)\times 2& 2\times 1+(-1)\times 2\\ (-4)\times 1+2\times 2& (-4)\times 1+2\times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Le produit $BA$. $$BA=\left(\begin{array}{cc}1\times 2+1\times (-4)& 1\times (-1)+1\times 2\\ 2\times 2+2\times (-4)& 2\times (-1)+2\times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -4& 2\end{array}\right).$$

Première conclusion. $AB$ est la matrice nulle alors que ni $A$ ni $B$ n'est nulle. Chez les nombres réels, $ab=0$ oblige $a=0$ ou $b=0$ ; chez les matrices, cette règle tombe. On ne peut donc jamais « simplifier » une égalité matricielle en supprimant un facteur.

Deuxième conclusion. $AB=0$ et $BA\ne 0$ : l'ordre des facteurs change tout, y compris le fait d'être nul. Le produit matriciel n'est pas commutatif, et ce couple en donne une preuve chiffrée.

Le point délicat. On lit parfois « $AB=0$ donc $A=0$ ou $B=0$ », par transport d'une habitude de collège. Le contre-exemple ci-dessus suffit à la réfuter définitivement : une seule paire de matrices explicites vaut mieux qu'un long raisonnement.