Un système qui dépend d'un paramètre

Le pivot ne dépend pas de $m$. Le coefficient de $x$ dans la première équation vaut $1$ : on peut s'en servir sans rien discuter. C'est la seconde ligne qui portera la discussion.

L'élimination. $L_2\leftarrow L_2-3L_1$ donne $3x+my-3x-6y=9-9$, c'est-à-dire $(m-6)y=0$. Le système équivaut donc à

$$\{\begin{array}{rcl}x+2y& =& 3\\ (m-6)y& =& 0\end{array}$$

Premier cas : $m\ne 6$. Le coefficient $m-6$ est non nul, on peut diviser : $y=0$, puis $x=3$. Le système a une unique solution, le couple $(3;0)$.

Second cas : $m=6$. La seconde équation devient $0=0$, vraie quel que soit $y$. Il ne reste que $x+2y=3$ : le système a une infinité de solutions, les couples $(3-2t;t)$ pour $t$ réel quelconque.

Contrôle. Pour $m=6$, la seconde équation s'écrit $3x+6y=9$, soit exactement trois fois la première : elle n'apporte aucune information, ce qui explique l'infinité de solutions.

Le point à retenir. On ne divise par un coefficient qu'après avoir vérifié qu'il n'est pas nul. C'est cette vérification, et elle seule, qui sépare les cas : un système à paramètre n'a pas une réponse, il en a autant que de cas.