Un système sans solution

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Résoudre un système linéaire

Énoncé

Montrer que le système suivant n'a aucune solution, et dire à quelle étape cela se voit.

$⎩ ⎨ ⎧ x 2 x x + + - y 2 y y + + z 2 z = = = 371$

Corrigé

Une seule opération suffit. $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ transforme la deuxième ligne en $0 = 7 - 6 = 1$ . Cette égalité est fausse pour tout triplet : le système est incompatible, il n'a aucune solution.

Sans calcul. La deuxième équation dit $2 (x + y + z) = 7$ , donc $x + y + z = 3, 5$ , alors que la première dit $x + y + z = 3$ . Un même nombre ne peut valoir $3$ et $3, 5$ .

À retenir. La troisième ligne n'a servi à rien : dès qu'une ligne devient « $0 =$ un nombre non nul », on s'arrête et on conclut.

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