Une équation dont l'inconnue est une matrice

La méthode. On ne peut pas « diviser par $A$ » : cette opération n'existe pas. On pose donc $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ et l'on traduit l'égalité matricielle en équations sur les quatre nombres inconnus.

Le produit. $$AX=\left(\begin{array}{cc}a+2c& b+2d\\ 3a+4c& 3b+4d\end{array}\right).$$ Deux matrices sont égales lorsque leurs quatre cases le sont, d'où $$\{\begin{array}{rcl}a+2c& =& 5\\ 3a+4c& =& 11\end{array}\text{et}\{\begin{array}{rcl}b+2d& =& 6\\ 3b+4d& =& 12\end{array}$$ Le système se sépare en deux systèmes indépendants : la première colonne de $X$ ne rencontre jamais la seconde.

Première colonne. $L_2\leftarrow L_2-3L_1$ donne $-2c=-4$, donc $c=2$, puis $a=5-4=1$.

Seconde colonne. $L_2\leftarrow L_2-3L_1$ donne $-2d=-6$, donc $d=3$, puis $b=6-6=0$.

La solution est unique : $X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right)$, car chacun des deux systèmes a une solution unique.

Contrôle. $AX=\left(\begin{array}{cc}1+4& 0+6\\ 3+8& 0+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 11& 12\end{array}\right)=C$.

Le point délicat. L'ordre compte : on a résolu $AX=C$, pas $XA=C$. Avec la même $A$ et la même $C$, l'équation $XA=C$ conduirait à un autre système et à une autre solution.