Une identité remarquable qui ne l'est plus

Le carré de la somme. $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& 2\end{array}\right)$, donc $(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}10& 8\\ 12& 10\end{array}\right)$.

La formule de collège. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$, $AB=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$, d'où $A^2+2AB+B^2=\left(\begin{array}{cc}16& 8\\ 12& 4\end{array}\right)$.

Conclusion. Les deux résultats diffèrent : la formule $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ est fausse pour les matrices.

La formule correcte. En développant sans jamais échanger l'ordre de deux facteurs, $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$. Ici $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)$, et la somme des quatre matrices redonne bien $\left(\begin{array}{cc}10& 8\\ 12& 10\end{array}\right)$. La formule de collège n'était qu'un cas particulier, celui où $AB=BA$.