Une ligne contre une colonne, dans les deux sens

Les tailles. $L$ est de taille $1\times 3$ et $C$ de taille $3\times 1$.

Existence de $LC$. Le nombre de colonnes de $L$ vaut $3$, le nombre de lignes de $C$ vaut $3$ : ils coïncident, donc $LC$ existe. Sa taille est donnée par les dimensions extérieures : $1\times 1$. $$LC=\left(\begin{array}{c}4\times 5+7\times 3+2\times 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20+21+20\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}61\end{array}\right).$$

Existence de $CL$. Le nombre de colonnes de $C$ vaut $1$, le nombre de lignes de $L$ vaut $1$ : ils coïncident aussi, donc $CL$ existe. Sa taille est $3\times 3$. $$CL=\left(\begin{array}{ccc}5\times 4& 5\times 7& 5\times 2\\ 3\times 4& 3\times 7& 3\times 2\\ 10\times 4& 10\times 7& 10\times 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}20& 35& 10\\ 12& 21& 6\\ 40& 70& 20\end{array}\right).$$

La conclusion. Les deux produits existent, mais l'un est un seul nombre et l'autre un tableau de neuf nombres. Ils ne peuvent donc même pas être comparés : l'ordre des facteurs ne change pas seulement les valeurs, il change la taille du résultat.

Une lecture concrète. Si $L$ porte trois prix unitaires et $C$ trois quantités, alors $LC=61$ est la dépense totale — le seul des deux produits qui réponde à une question de gestion.