Une matrice égale à son carré

Vérification. $$A^2=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9-6& -18+12\\ 3-2& -6+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)=A.$$

La puissance $n$-ième, par récurrence. Montrons que $A^n=A$ pour tout entier $n\ge 1$.

Initialisation. Pour $n=1$, l'égalité $A^1=A$ est vraie.

Hérédité. Supposons $A^n=A$ pour un entier $n\ge 1$. Alors $$A^{n+1}=A^{n}A=A\times A=A^2=A,$$ où la deuxième égalité utilise l'hypothèse de récurrence et la dernière le calcul ci-dessus. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion. $A^n=A$ pour tout entier $n\ge 1$.

La puissance de $2A$. Le réel $2$ se sort d'un produit : $(2A)(2A)=4A^2$, et plus généralement $(2A{)}^n=2^n{A}^n$ — c'est la règle $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$, appliquée $n$ fois. Avec $A^n=A$ : $$(2A{)}^n=2^{n}A=\left(\begin{array}{cc}3\times 2^n& -6\times 2^n\\ 2^n& -2\times 2^n\end{array}\right).$$

Le point délicat. $A^2=A$ n'entraîne surtout pas $A=I$ : simplifier par $A$ reviendrait à diviser, ce qui n'a aucun sens pour les matrices. Ici $A$ est différente de $I$ et de la matrice nulle, et vérifie pourtant $A^2=A$.