Une matrice qui vérifie sa propre équation

Calcul de $A^2$. $$A^2=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9-2& -3+0\\ 6+0& -2+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ 6& -2\end{array}\right).$$

Vérification de la relation. $3A=\left(\begin{array}{cc}9& -3\\ 6& 0\end{array}\right)$ et $2I=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, donc $$A^2-3A+2I=\left(\begin{array}{cc}7-9+2& -3+3+0\\ 6-6+0& -2-0+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Ce que la relation apporte. Elle s'écrit $A^2=3A-2I$ : toute puissance de $A$ va donc pouvoir s'exprimer avec $A$ et $I$ seulement. En multipliant les deux membres par $A$ — à gauche ou à droite, peu importe ici puisque $A$ commute avec elle-même et avec $I$ : $$A^3=3A^2-2A=3(3A-2I)-2A=9A-6I-2A=7A-6I.$$

Le résultat. $$A^3=7\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)-6\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}21-6& -7\\ 14& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}15& -7\\ 14& -6\end{array}\right).$$

Contrôle par le calcul direct. $A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ 6& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}21-6& -7\\ 18-4& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}15& -7\\ 14& -6\end{array}\right)$. Les deux chemins concordent.