Une opération élémentaire ne perd rien

Résolution du système de départ. De la première ligne, $y=8-2x$. En reportant dans la seconde : $$x+3(8-2x)=9,\text{soit}24-5x=9,\text{donc}x=3,$$ puis $y=8-6=2$.

Contrôle. $2\times 3+2=8$ et $3+3\times 2=9$. Le couple $(3;2)$ est solution.

L'opération demandée. $2L_2-L_1$ vaut $2(x+3y)-(2x+y)=2x+6y-2x-y=5y$ côté gauche, et $2\times 9-8=10$ côté droit. Le nouveau système est donc $$2x+y=8\text{et}5y=10.$$

Vérification. Pour $(3;2)$ : $2\times 3+2=8$ et $5\times 2=10$. Le couple est encore solution.

Pourquoi ce n'était pas un hasard. L'opération est de la forme $L_2\leftarrow \alpha L_2+\beta L_1$ avec $\alpha =2\ne 0$. Elle se défait par $L_2\leftarrow \frac{1}{2}(L_2+L_1)$ : les deux systèmes ont donc exactement les mêmes solutions. C'est cette réversibilité, et elle seule, qui autorise le pivot de Gauss à transformer un système sans jamais perdre ni inventer de solution.