Une opération élémentaire ne perd rien

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 8 — Systèmes linéaires et calcul matriciel · Résoudre de petits systèmes

Énoncé

On considère le système $2 x + y = 8$ et $x + 3 y = 9$ . Le résoudre, puis appliquer l'opération $L_{2} \leftarrow 2 L_{2} - L_{1}$ et vérifier que le couple trouvé est encore solution du nouveau système.

Corrigé

Résolution du système de départ. De la première ligne, $y = 8 - 2 x$ . En reportant dans la seconde : $x + 3 (8 - 2 x) = 9, soit 24 - 5 x = 9, donc x = 3,$ puis $y = 8 - 6 = 2$ .

Contrôle. $2 \times 3 + 2 = 8$ et $3 + 3 \times 2 = 9$ . Le couple $(3; 2)$ est solution.

L'opération demandée. $2 L_{2} - L_{1}$ vaut $2 (x + 3 y) - (2 x + y) = 2 x + 6 y - 2 x - y = 5 y$ côté gauche, et $2 \times 9 - 8 = 10$ côté droit. Le nouveau système est donc $2 x + y = 8 et 5 y = 10.$

Vérification. Pour $(3; 2)$ : $2 \times 3 + 2 = 8$ et $5 \times 2 = 10$ . Le couple est encore solution.

Pourquoi ce n'était pas un hasard. L'opération est de la forme $L_{2} \leftarrow α L_{2} + β L_{1}$ avec $α = 2 \neq = 0$ . Elle se défait par $L_{2} \leftarrow \frac{1}{2} (L_{2} + L_{1})$ : les deux systèmes ont donc exactement les mêmes solutions. C'est cette réversibilité, et elle seule, qui autorise le pivot de Gauss à transformer un système sans jamais perdre ni inventer de solution.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.