Une remontée sans descente

Une remarque préalable. Ce système est déjà triangulaire : chaque ligne contient une inconnue de moins que la précédente. La descente du pivot de Gauss est donc inutile — c'est exactement l'état dans lequel elle cherche à mettre un système. Il ne reste que la remontée.

Troisième ligne. $3z=15$ donne $z=5$.

Deuxième ligne. On y reporte $z=5$ : $$y+2\times 5=11,\text{donc}y=11-10=1.$$

Première ligne. On y reporte $y=1$ et $z=5$ : $$x+1+5=12,\text{donc}x=6.$$

Contrôle. $6+1+5=12$ ; $1+10=11$ ; $3\times 5=15$. Les trois équations sont vérifiées, et le triplet $(6;1;5)$ est l'unique solution.

Ce qu'il faut retenir. La remontée se fait toujours de bas en haut, en reportant les valeurs déjà trouvées. Chaque ligne ne contient alors plus qu'une seule inconnue : aucun choix ne se présente, ce qui explique que la solution soit unique.