Croissante ou décroissante ?

La méthode. On étudie le signe de la différence $w_{n+1}-w_n$. Lorsque tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient $\frac{w_{n+1}}{w_n}$ à $1$ ; les deux voies sont employées ci-dessous.

La suite $(u_n)$, par la différence. $$u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{(n+1{)}^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}.$$ Ce nombre est strictement positif : $(u_n)$ est strictement croissante.

La suite $(v_n)$, par le quotient. Tous les termes sont strictement positifs, et $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{5}{n+1}\times \frac{n}{5}=\frac{n}{n+1}<1.$$ Un quotient strictement inférieur à $1$ entre termes positifs signifie $v_{n+1}<v_n$ : la suite est strictement décroissante.

Contrôle. $u_1=0,5$, $u_2\approx 0,667$, $u_3=0,75$ : cela monte. $v_1=5$, $v_2=2,5$, $v_3\approx 1,667$ : cela descend.

Le point délicat. La comparaison du quotient à $1$ n'est licite que si les termes sont strictement positifs. Pour une suite qui change de signe, elle conclurait à l'envers : c'est la différence qu'il faut alors étudier.