Deux courbes qui doivent se croiser

Ramener à une équation. Les deux courbes se coupent aux abscisses $x$ vérifiant $g(x)=h(x)$, c'est-à-dire $x^3-3x-1=0$. Posons $\phi (x)=x^3-3x-1$ : le problème devient l'étude des zéros de $\phi$ sur $[1;2]$.

Continuité et monotonie. $\phi$ est une fonction polynôme, donc continue. Sa dérivée vaut ${\phi }^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$, qui est strictement positive dès que $x>1$. Donc $\phi$ est strictement croissante sur $[1;2]$.

Changement de signe. $\phi (1)=1-3-1=-3<0$ et $\phi (2)=8-6-1=1>0$. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires donne une unique solution $\alpha$ dans $\left]1;2\right[$ : les deux courbes se coupent en un point et un seul d'abscisse dans cet intervalle.

L'encadrement, par bissections successives. $\phi (1,5)=3,375-4,5-1=-2,125<0$, donc $\alpha \in \left]1,5;2\right[$. $\phi (1,75)=5,359-5,25-1=-0,891<0$, donc $\alpha \in \left]1,75;2\right[$. L'amplitude vaut $0,25$ : l'encadrement demandé est $$1,75<\alpha <2.$$

Le point délicat. $\phi$ n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$ : sa dérivée s'annule en $-1$ et $1$. C'est bien parce qu'on a restreint l'étude à $[1;2]$ que l'unicité est acquise — sur $\mathbb{R}$, l'équation $x^3=3x+1$ a d'autres solutions.