Deux placements que l'on compare

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Lever une forme indéterminée

Énoncé

Un capital suit $A_{n} = 500 \times (1, 04)^{n}$ (intérêts composés) et un autre $B_{n} = 800 + 30 n$ (versements constants), $n$ étant le nombre d'années. Déterminer les limites de $(A_{n})$ et $(B_{n})$ , puis la première année où le premier placement dépasse le second, et montrer qu'il ne repasse jamais derrière ensuite.

Corrigé

Les deux limites. $(A_{n})$ est géométrique de raison $1, 04 > 1$ , donc $(1, 04)^{n} \to + \infty$ et $A_{n} \to + \infty$ . Quant à $B_{n} = 800 + 30 n$ , elle tend aussi vers $+ \infty$ . Les deux limites sont identiques : elles ne permettent donc pas de comparer les deux placements, et il faut regarder les valeurs.

La situation au départ. $A_{0} = 500$ et $B_{0} = 800$ : le second est devant.

La recherche du dépassement. On calcule quelques valeurs, arrondies à l'unité :

$n$	$A_{n}$	$B_{n}$
$10$	$740$	$1100$
$20$	$1096$	$1400$
$30$	$1622$	$1700$
$32$	$1754$	$1760$
$33$	$1824$	$1790$

Au rang $32$ le second est encore devant de $6$ euros ; au rang $33$ le premier passe devant. Le dépassement a donc lieu la $33$ -ième année.

Il ne repasse jamais derrière. Comparons les accroissements annuels à partir du rang $33$ : $A_{n + 1} - A_{n} = 500 ((1, 04)^{n + 1} - (1, 04)^{n}) = 0, 04 A_{n}, B_{n + 1} - B_{n} = 30.$ Pour $n \geq 33$ , on a $A_{n} \geq A_{33} > 1790$ , donc $0, 04 A_{n} > 0, 04 \times 1790 = 71, 6 > 30$ . Le premier placement gagne chaque année davantage que le second : la différence $A_{n} - B_{n}$ , positive au rang $33$ , ne fait ensuite que croître. Le dépassement est définitif.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.