Le nombre de tours, à partir d'un intervalle plus large

La formule. L'intervalle de départ a pour amplitude $b-a=10-2=8$. Après $n$ tours, l'amplitude vaut $\frac{8}{2^n}$.

La condition. On veut $\frac{8}{2^n}\le 10^{-2}$, c'est-à-dire $2^n\ge 800$.

Le calcul. $2^9=512<800$ et $2^{10}=1024\ge 800$ : il faut $10$ tours. Vérification : $\frac{8}{1024}=0,0078125\le 0,01$, alors que $\frac{8}{512}=0,015625>0,01$.

Le double de précision. « Deux fois plus précis » signifie une amplitude deux fois plus petite, soit $5\times 10^{-3}$. La condition devient $2^n\ge 1600$, et comme $2^{10}=1024<1600\le 2048=2^{11}$, il faut $11$ tours : un seul tour de plus.

Ce que cela dit de l'algorithme. Chaque tour divise l'amplitude par $2$ : doubler la précision coûte donc toujours exactement un tour, quelle que soit la précision déjà atteinte. En revanche, gagner un chiffre décimal (facteur $10$) coûte entre $3$ et $4$ tours, puisque $2^3=8<10<16=2^4$.

Comparaison avec un intervalle plus étroit. Sur $[0;1]$, d'amplitude $1$, la même précision $10^{-2}$ demanderait $2^n\ge 100$, soit $7$ tours. Les trois tours supplémentaires ci-dessus paient exactement le facteur $8$ entre les deux amplitudes de départ, car $2^3=8$.