Le théorème s'applique-t-il ?

Ce que dit le théorème. Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x)=k$ a au moins une solution dans $[a;b]$. Deux hypothèses sont donc à vérifier : la continuité, et l'encadrement de la valeur visée.

Cas (a). $f$ est continue et $0$ est compris entre $-2$ et $5$. Le théorème s'applique : l'équation a au moins une solution sur $[0;1]$. Il ne dit rien de plus — il n'affirme pas qu'elle soit unique, faute d'hypothèse de monotonie.

Cas (b). $f$ est continue, mais $0$ n'est pas compris entre $2$ et $5$ : le théorème ne s'applique pas. Attention à la conclusion : cela ne prouve pas qu'il n'y a pas de solution. Une fonction continue peut très bien descendre sous zéro entre $0$ et $1$ puis remonter — par exemple en valant $-1$ en $0,5$. On ne peut simplement rien affirmer.

Cas (c). La valeur $0$ est bien encadrée, mais l'hypothèse de continuité tombe. Le théorème ne s'applique pas, et cette fois un contre-exemple existe : une fonction valant $-2$ sur $[0;0,5[$ et $5$ sur $[0,5;1]$ saute par-dessus zéro sans jamais l'atteindre.

Ce qu'il faut retenir. « Le théorème ne s'applique pas » n'est jamais synonyme de « il n'y a pas de solution » : c'est l'aveu qu'on ne sait pas, et qu'il faut un autre argument.