Localiser une racine

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Continuité et valeurs intermédiaires

Énoncé

Soit $f (x) = x^{3} + x - 1$ . Montrer que l'équation $f (x) = 0$ a une unique solution $α$ dans $[0, 1]$ , puis l'encadrer à $1 0^{- 1}$ près.

Corrigé

Existence et unicité. $f$ est continue sur $[0, 1]$ et $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ : elle est strictement croissante. Or $f (0) = - 1 < 0$ et $f (1) = 1 > 0$ . Le corollaire du TVI donne une unique solution $α$ dans $] 0, 1 [$ .

Encadrement. $f (0, 6) = 0, 216 + 0, 6 - 1 = - 0, 184 < 0$ et $f (0, 7) = 0, 343 + 0, 7 - 1 = 0, 043 > 0$ . Donc $0, 6 < α < 0, 7$ .

Pourquoi cela suffit. $f$ étant strictement croissante, le signe de $f$ change une seule fois : le changement de signe entre $0, 6$ et $0, 7$ localise $α$ sans ambiguïté. En réalité $α \approx 0, 6823$ .

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