Majorant, maximum ou limite ?

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Premières lectures sur les suites

Énoncé

Soit $u_{n} = 5 - \frac{2}{n + 1}$ pour $n \geq 0$ . Donner $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{4}$ , puis dire si $5$ est un majorant, un maximum, ou la limite de la suite. Même question pour le nombre $3$ .

Corrigé

Les premiers termes. $u_{0} = 5 - \frac{2}{1} = 3$ ; $u_{1} = 5 - \frac{2}{2} = 4$ ; $u_{4} = 5 - \frac{2}{5} = 4, 6$ .

Le nombre $5$ . Comme $\frac{2}{n + 1} > 0$ pour tout $n$ , on a $u_{n} < 5$ : $5$ est donc un majorant. Ce n'est pas un maximum : un maximum doit être l'un des termes de la suite, or aucun terme ne vaut $5$ . En revanche $\frac{2}{n + 1} \to 0$ , donc $u_{n} \to 5$ : c'est bien la limite.

Le nombre $3$ . Il vaut $u_{0}$ , donc c'est un terme de la suite. La suite est croissante : en effet $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2}{n + 1} - \frac{2}{n + 2} = \frac{2}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0.$ Tous les termes sont donc supérieurs ou égaux à $u_{0} = 3$ : le nombre $3$ est un minorant, et comme il est atteint, c'est le minimum de la suite. Ce n'est ni un majorant ni la limite.

Ce qu'il faut retenir. Un majorant est un plafond, atteint ou non, et il y en a une infinité — $6$ et $100$ en sont aussi. Un maximum est un majorant qui est un terme. Une limite est la valeur dont les termes se rapprochent indéfiniment. Les trois mots ne se remplacent jamais l'un l'autre.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.