Monotonie et bornes

Monotonie et bornes

Compléments sur les suites et la continuité · Monotonie, bornes et convergence · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 1}$ pour $n \geq 0$ . Montrer que $(u_{n})$ est croissante, majorée par $2$ et minorée par $1$ . Que peut-on en déduire ?

Corrigé

Une écriture plus commode. $u_{n} = \frac{2 ( n + 1 ) - 1}{n + 1} = 2 - \frac{1}{n + 1}$ .

Croissance. $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0$ : la suite est strictement croissante.

Bornes. Comme $\frac{1}{n + 1} > 0$ , on a $u_{n} < 2$ : la suite est majorée par $2$ . Comme elle est croissante, elle est minorée par son premier terme $u_{0} = 1$ .

Conclusion. Croissante et majorée, elle converge (théorème de la limite monotone). Ici on voit même la limite : $\frac{1}{n + 1} \to 0$ donc $u_{n} \to 2$ .

Énoncé

Corrigé

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