Prendre une suite en tenaille

Pourquoi un encadrement. Le terme $\cos (n)$ n'a pas de limite : on ne peut donc pas calculer celle de $u_n$ par les opérations usuelles. On sait en revanche que ce terme reste borné, et c'est tout ce dont l'encadrement a besoin.

L'encadrement de départ. Pour tout entier $n$, $-1\le \cos (n)\le 1$, donc $-3\le 3\cos (n)\le 3$, puis $$2n-3\le 2n+3\cos (n)\le 2n+3.$$ Le dénominateur $n+1$ est strictement positif pour $n\ge 1$ : diviser par lui conserve le sens des inégalités. $$\frac{2n-3}{n+1}\le u_n\le \frac{2n+3}{n+1}.$$

Les deux bornes ont la même limite. En factorisant par $n$ : $$\frac{2n-3}{n+1}=\frac{2-\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}⟶2,\frac{2n+3}{n+1}=\frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}⟶2.$$

Conclusion. Les deux mâchoires se referment sur $2$ ; par le théorème d'encadrement, $(u_n)$ converge et $u_n\to 2$.

Contrôle. $u_{10}=\frac{20+3\cos (10)}{11}\approx \frac{20-2,52}{11}\approx 1,59$ et $u_{100}\approx \frac{200+2,58}{101}\approx 2,01$ : la suite oscille autour de $2$ en resserrant.

Le point délicat. L'encadrement ne demande aucune monotonie : $(u_n)$ n'est pas monotone, elle oscille au gré de $\cos (n)$, et cela n'empêche nullement de conclure.