Quand la dichotomie ne s'applique pas

Non, et voici pourquoi. Le résultat sur lequel repose la dichotomie dit : si $f$ est continue et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors $f$ s'annule entre $a$ et $b$. C'est une implication, pas une équivalence : elle ne dit rien lorsque les deux valeurs ont le même signe.

Ici elle s'annule deux fois. $f(x)=x^2-2x=x(x-2)$, donc $f(x)=0$ pour $x=0$ et pour $x=2$, tous deux dans $[-1,3]$. Les deux changements de signe se compensent aux extrémités, et l'algorithme est aveugle.

Séparer d'abord les racines. $f^{\prime }(x)=2x-2$ s'annule en $x=1$ : $f$ est strictement décroissante sur $[-1,1]$ et strictement croissante sur $[1,3]$. On coupe donc en $1$, où $f(1)=1-2=-1<0$.

Sur $[-1,1]$. $f(-1)=3>0$ et $f(1)=-1<0$ : signes contraires, donc une racine ; $f$ y étant strictement décroissante, elle est unique. La dichotomie converge vers $0$.

Sur $[1,3]$. $f(1)=-1<0$ et $f(3)=3>0$ : une racine, unique par stricte croissance. La dichotomie converge vers $2$.

Conclusion. Les racines sont $0$ et $2$, et il fallait deux dichotomies, une par intervalle de monotonie.

Le point à retenir. La dichotomie exige un changement de signe. Avant de la lancer, on établit le tableau de variations : c'est lui qui sépare les racines, et l'algorithme ne sait travailler que sur des racines déjà séparées.