Quatre tours, et l'amplitude annoncée

Existence et unicité. $f$ est continue sur $[1;2]$ et $f^{\prime }(x)=3x^2>0$ pour $x\ge 1$ : elle est strictement croissante. De plus $f(1)=-1<0$ et $f(2)=6>0$. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires donne une unique racine $\alpha$ dans $\left]1;2\right[$.

Tour 1. $m=1,5$ et $f(1,5)=3,375-2=1,375>0$. Comme $f(1)$ est négatif, le changement de signe a lieu à gauche : $\alpha \in [1;1,5]$.

Tour 2. $m=1,25$ et $f(1,25)=1,953125-2=-0,046875<0$. Le changement de signe est à droite : $\alpha \in [1,25;1,5]$.

Tour 3. $m=1,375$ et $f(1,375)=2,599609375-2=0,5996>0$ : $\alpha \in [1,25;1,375]$.

Tour 4. $m=1,3125$ et $f(1,3125)=2,260986\dots -2=0,261>0$ : $\alpha \in [1,25;1,3125]$.

L'amplitude. L'intervalle de départ mesurait $1$ ; après $4$ tours, la formule annonce $\frac{b-a}{2^4}=\frac{1}{16}=0,0625$. Or $1,3125-1,25=0,0625$ : la formule est vérifiée.

Contrôle. La racine cherchée est $\sqrt[3]{2}\approx 1,2599$, qui appartient bien à $[1,25;1,3125]$.

Le point délicat. À chaque tour on remplace une seule borne, celle du côté où le signe ne change pas. Remplacer les deux, ou se tromper de côté, fait sortir la racine de l'intervalle sans que l'algorithme s'en aperçoive.