Trois quotients, une seule forme indéterminée

La forme de départ. Dans les trois cas, numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : c'est la forme $\frac{+\infty }{+\infty }$, qui ne décide de rien. La méthode est toujours la même : factoriser en haut et en bas par le terme de plus haut degré, puis simplifier.

La suite $(a_n)$. $$a_n=\frac{n^3\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(5+\frac{3}{n^2}\right)}=n\times \frac{2-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{3}{n^2}}.$$ Le quotient tend vers $\frac{2}{5}$, qui est strictement positif, et $n\to +\infty$ : donc $a_n\to +\infty$.

La suite $(b_n)$. $$b_n=\frac{n^2\left(4+\frac{7}{n^2}\right)}{n^3\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}=\frac{1}{n}\times \frac{4+\frac{7}{n^2}}{1+\frac{1}{n^3}}.$$ Le quotient tend vers $4$ et $\frac{1}{n}\to 0$ : donc $b_n\to 0$.

La suite $(c_n)$. $$c_n=\frac{n^2\left(1-\frac{3}{n}\right)}{n^2\left(2+\frac{1}{n}\right)}=\frac{1-\frac{3}{n}}{2+\frac{1}{n}}⟶\frac{1}{2}.$$

Ce qu'il faut retenir. Trois suites de même forme indéterminée, trois issues : l'infini, zéro, un nombre. C'est le degré du numérateur comparé à celui du dénominateur qui décide, et la factorisation le rend visible.