Trois suites géométriques

La règle employée. Pour une suite géométrique $(q^n)$ : elle tend vers $0$ si $|q|<1$ ; elle tend vers $+\infty$ si $q>1$ ; elle vaut constamment $1$ si $q=1$ ; et elle n'a pas de limite si $q\le -1$.

La suite $(u_n)$. La raison est $q=0,95$, et $|0,95|<1$. Donc $u_n\to 0$.

La suite $(v_n)$. La raison est $q=1,05>1$. Donc $v_n\to +\infty$.

La suite $(w_n)$. La raison est $q=-1,2$, et $q\le -1$. La suite n'a pas de limite : ses termes changent de signe à chaque rang tout en grandissant en valeur absolue. Ainsi $w_1=-1,2$, $w_2=1,44$, $w_3=-1,728$, $w_4\approx 2,0736$ : aucune bande, si large soit-elle, ne peut contenir tous les termes sauf un nombre fini.

Contrôle numérique. $u_{100}\approx 0,0059$ et $u_{200}\approx 0,000035$ ; $v_{100}\approx 131,5$ et $v_{200}\approx 17293$. Les deux premières tendances se voient sur les nombres.

Une lecture concrète. $u_n$ décrit une valeur qui perd $5\%$ par an et finit par ne plus rien valoir ; $v_n$ décrit un capital placé à $5\%$ qui croît sans borne. Même formule, deux destins : tout se joue sur la position de la raison par rapport à $1$.