Trois suites géométriques

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 9 — Compléments sur les suites et la continuité · Premières lectures sur les suites

Énoncé

Déterminer, en justifiant, les limites de $u_{n} = (0, 95)^{n}$ , $v_{n} = (1, 05)^{n}$ et $w_{n} = (- 1, 2)^{n}$ .

Corrigé

La règle employée. Pour une suite géométrique $(q^{n})$ : elle tend vers $0$ si $∣ q ∣ < 1$ ; elle tend vers $+ \infty$ si $q > 1$ ; elle vaut constamment $1$ si $q = 1$ ; et elle n'a pas de limite si $q \leq - 1$ .

La suite $(u_{n})$ . La raison est $q = 0, 95$ , et $∣0, 95∣ < 1$ . Donc $u_{n} \to 0$ .

La suite $(v_{n})$ . La raison est $q = 1, 05 > 1$ . Donc $v_{n} \to + \infty$ .

La suite $(w_{n})$ . La raison est $q = - 1, 2$ , et $q \leq - 1$ . La suite n'a pas de limite : ses termes changent de signe à chaque rang tout en grandissant en valeur absolue. Ainsi $w_{1} = - 1, 2$ , $w_{2} = 1, 44$ , $w_{3} = - 1, 728$ , $w_{4} \approx 2, 0736$ : aucune bande, si large soit-elle, ne peut contenir tous les termes sauf un nombre fini.

Contrôle numérique. $u_{100} \approx 0, 0059$ et $u_{200} \approx 0, 000035$ ; $v_{100} \approx 131, 5$ et $v_{200} \approx 17293$ . Les deux premières tendances se voient sur les nombres.

Une lecture concrète. $u_{n}$ décrit une valeur qui perd $5 %$ par an et finit par ne plus rien valoir ; $v_{n}$ décrit un capital placé à $5 %$ qui croît sans borne. Même formule, deux destins : tout se joue sur la position de la raison par rapport à $1$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.